# migrations

dir: embeddings_queue
filename: 00001-embeddings.sqlite.sql
hash: d3755dfd232be8e8301f4d7fcfb3a486
sql:
CREATE TABLE embeddings_queue (
    seq_id INTEGER PRIMARY KEY,
    created_at TIMESTAMP NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP,
    operation INTEGER NOT NULL,
    topic TEXT NOT NULL,
    id TEXT NOT NULL,
    vector BLOB,
    encoding TEXT,
    metadata TEXT
);


dir: sysdb
filename: 00001-collections.sqlite.sql
hash: 38352d725ad1c16074fac420b22b4633
sql:
CREATE TABLE collections (
    id TEXT PRIMARY KEY,
    name TEXT NOT NULL,
    topic TEXT NOT NULL,
    UNIQUE (name)
);

CREATE TABLE collection_metadata (
    collection_id TEXT REFERENCES collections(id) ON DELETE CASCADE,
    key TEXT NOT NULL,
    str_value TEXT,
    int_value INTEGER,
    float_value REAL,
    PRIMARY KEY (collection_id, key)
);


dir: sysdb
filename: 00002-segments.sqlite.sql
hash: 2913cb6a503055a95f625448037e8912
sql:
CREATE TABLE segments (
    id TEXT PRIMARY KEY,
    type TEXT NOT NULL,
    scope TEXT NOT NULL,
    topic TEXT,
    collection TEXT REFERENCES collection(id)
);

CREATE TABLE segment_metadata (
    segment_id TEXT  REFERENCES segments(id) ON DELETE CASCADE,
    key TEXT NOT NULL,
    str_value TEXT,
    int_value INTEGER,
    float_value REAL,
    PRIMARY KEY (segment_id, key)
);


dir: sysdb
filename: 00004-tenants-databases.sqlite.sql
hash: 048867ce8fcdefe4023c7110e4433591
sql:
CREATE TABLE IF NOT EXISTS tenants (
    id TEXT PRIMARY KEY,
    UNIQUE (id)
);

CREATE TABLE IF NOT EXISTS databases (
    id TEXT PRIMARY KEY, -- unique globally
    name TEXT NOT NULL, -- unique per tenant
    tenant_id TEXT NOT NULL REFERENCES tenants(id) ON DELETE CASCADE,
    UNIQUE (tenant_id, name) -- Ensure that a tenant has only one database with a given name
);

CREATE TABLE IF NOT EXISTS collections_tmp (
    id TEXT PRIMARY KEY, -- unique globally
    name TEXT NOT NULL, -- unique per database
    topic TEXT NOT NULL,
    dimension INTEGER,
    database_id TEXT NOT NULL REFERENCES databases(id) ON DELETE CASCADE,
    UNIQUE (name, database_id)
);

-- Create default tenant and database
INSERT OR REPLACE INTO tenants (id) VALUES ('default_tenant'); -- The default tenant id is 'default_tenant' others are UUIDs
INSERT OR REPLACE INTO databases (id, name, tenant_id) VALUES ('00000000-0000-0000-0000-000000000000', 'default_database', 'default_tenant');

INSERT OR REPLACE INTO collections_tmp (id, name, topic, dimension, database_id)
    SELECT id, name, topic, dimension, '00000000-0000-0000-0000-000000000000' FROM collections;
DROP TABLE collections;
ALTER TABLE collections_tmp RENAME TO collections;


dir: metadb
filename: 00001-embedding-metadata.sqlite.sql
hash: 2b4cf52c4bb2676e21d6860a4409f856
sql:
CREATE TABLE embeddings (
    id INTEGER PRIMARY KEY,
    segment_id TEXT NOT NULL,
    embedding_id TEXT NOT NULL,
    seq_id BLOB NOT NULL,
    created_at TIMESTAMP NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP,
    UNIQUE (segment_id, embedding_id)
);

CREATE TABLE embedding_metadata (
    id INTEGER REFERENCES embeddings(id),
    key TEXT NOT NULL,
    string_value TEXT,
    int_value INTEGER,
    float_value REAL,
    PRIMARY KEY (id, key)
);

CREATE TABLE max_seq_id (
    segment_id TEXT PRIMARY KEY,
    seq_id BLOB NOT NULL
);

CREATE VIRTUAL TABLE embedding_fulltext USING fts5(id, string_value);


dir: metadb
filename: 00002-embedding-metadata.sqlite.sql
hash: 12a570f7121b3a8ce750a2a7c36da20f
sql:
-- SQLite does not support adding check with alter table, as a result, adding a check
-- involve creating a new table and copying the data over. It is over kill with adding
-- a boolean type column. The application write to the table needs to ensure the data
-- integrity.
ALTER TABLE embedding_metadata ADD COLUMN bool_value INTEGER


dir: metadb
filename: 00003-full-text-tokenize.sqlite.sql
hash: f97ad6334aeaa8f419f01110b648b97a
sql:
CREATE VIRTUAL TABLE embedding_fulltext_search USING fts5(string_value, tokenize='trigram');
INSERT INTO embedding_fulltext_search (rowid, string_value) SELECT rowid, string_value FROM embedding_metadata;
DROP TABLE embedding_fulltext;


# embeddings_queue

created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 36bc8c5d-7e37-47f0-bbca-54e087e49299
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "## 1 Enonces\n\n**Exercice 1**: On rappelle que \\((E,+,\\cdot)\\) est un \\(\\mathbb{K}\\)-espace vectoriel si\n\n1. \\((E,+)\\) est un groupe commutatif\\(\\,\\);\n2. \\(\\forall x,y\\in E,\\,\\forall\\alpha\\in\\mathbb{K},\\,\\alpha\\cdot(x+y)=\\alpha\\cdot x +\\alpha\\cdot y\\,\\);\n3. \\(\\forall x\\in E,\\,\\forall\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{K},\\,(\\alpha+\\beta)\\cdot x= \\alpha\\cdot x+\\beta\\cdot x\\,\\);\n4. \\(\\forall x\\in E,\\,\\forall\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{K},\\,\\alpha\\cdot(\\beta\\cdot x )=(\\alpha\\beta)\\cdot x\\,\\);\n5. \\(1\\cdot x=x\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: a9edd350-b76f-42fd-9a1c-aa7665d3fc15
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "Soit \\((E,+,\\cdot)\\) un \\(\\mathbb{K}\\)-espace vectoriel. On note \\(0_{E}\\) l'element neutre de \\((E,+)\\) (que l'on appelle aussi l'origine de \\((E,+,\\cdot)\\)) et \\(0_{\\mathbb{K}}\\) le nombre zero (dans \\(\\mathbb{K}\\)). Pour tout \\(x\\) dans \\(E\\), le symetrique de \\(x\\) est note \\(-x\\).\n\n1. Montrer que, pour tout \\(x\\in E\\), \\(x+x=2\\cdot x\\).\n2. Montrer que, pour tout \\(x\\in E\\), \\(0_{\\mathbb{K}}\\cdot x=0_{E}\\).\n3. Montrer que, pour tout \\(x\\in E\\), \\((-1)\\cdot x=-x\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: e0d84dc7-51f1-4e99-9cb1-6f0671dd4ef9
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 2**: Soient \\(F_{1},\\ldots,F_{m}\\) des sous-espaces vectoriels d'un \\(\\mathbb{R}\\)-espace vectoriel \\((E,+,\\cdot)\\). Montrer que \\(F:=F_{1}\\cap\\ldots\\cap F_{m}\\) est un sous-espace vectoriel de \\(E\\).\n\n**Exercice 3**: Soient \\((E,+,\\cdot)\\) un \\(\\mathbb{R}\\)-espace vectoriel, \\(\\{x_{1},\\ldots,x_{m}\\}\\) une famille de vecteurs de \\(E\\). Montrer que \\(F:=\\operatorname{vect}\\{x_{1},\\ldots,x_{m}\\}\\) est un sous-espace vectoriel de \\(E\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 372f61aa-213c-4cd0-811e-1a876f9f8164
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 4**: Soient \\((E,+,\\cdot)\\) un \\(\\mathbb{R}\\)-espace vectoriel, \\(F\\) un sous-espace vectoriel de \\(E\\) et \\(A,B\\) deux sous-ensembles de \\(E\\).\n\n1. Montrer que, si \\(A\\subset B\\), alors \\(\\operatorname{vect}A\\subset\\operatorname{vect}B\\).\n2. Montrer que \\(A\\) est un sous-espace vectoriel de \\(E\\) si et seulement si \\(\\operatorname{vect}A=A\\).\n3. Montrer que, si \\(A\\subset B\\subset F\\) et \\(A\\) engendre \\(F\\), alors \\(B\\) engendre \\(F\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: ff8aab7b-4001-4f6c-aa57-8837c0b6b7e4
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 5**: Considerons les vecteurs de \\(\\mathbb{R}^{4}\\) suivants :\n\n\\[\\mathbf{e}_{1}=\\left(\\begin{array}{c}1\\\\ 1\\\\ 1\\\\ 1\\\\ 1\\end{array}\\right),\\quad\\mathbf{e}_{2}=\\left(\\begin{array}{c}0\\\\ 1\\\\ 2\\\\ -1\\end{array}\\right),\\quad\\mathbf{e}_{3}=\\left(\\begin{array}{c}1\\\\ 0\\\\ -2\\\\ 3\\end{array}\\right),\\quad\\mathbf{e}_{4}=\\left(\\begin{array}{c}2\\\\ 1\\\\ 0\\\\ -1\\end{array}\\right).\\]"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 6d1ba144-b301-430f-95d8-d03659164035
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "La famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\) est-elle libre\\(\\,\\)? Est-ce une base de \\(\\mathbb{R}^{4}\\,\\)?\n\n**Exercice 6**: Considerons les vecteurs de \\(\\mathbb{R}^{4}\\) suivants :"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 2e888db2-11f9-44d9-804e-7a8e3455b2a3
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "\\[\\mathbf{e}_{1}=\\left(\\begin{array}{c}1\\\\ 1\\\\ 1\\\\ 1\\end{array}\\right),\\quad\\mathbf{e}_{2}=\\left(\\begin{array}{c}0\\\\ 1\\\\ 2\\\\ 1\\end{array}\\right),\\quad\\mathbf{e}_{3}=\\left(\\begin{array}{c}1\\\\ 0\\\\ -2\\\\ 3\\end{array}\\right),\\quad\\mathbf{e}_{4}=\\left(\\begin{array}{c}1\\\\ 1\\\\ 2\\\\ -2\\end{array}\\right).\\]1. La famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\) est-elle libre?\n2. Quel est le rang de la famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\)?"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 0a43d40c-3cea-4b5e-bc80-96480ef62022
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "3. Determiner une relation entre les nombres reels \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\) pour que le vecteur \\(\\mathbf{u}=(1,1,\\alpha,\\beta)^{t}\\) appartienne au sous-espace vectoriel engendre par la famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 5a926f5e-2df9-415c-8c54-ff8fd68dad88
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 7**: Soit \\(E=\\mathbb{R}^{\\mathbb{R}}\\), l'espace des fonctions de \\(\\mathbb{R}\\) dans \\(\\mathbb{R}\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: b9141fe9-829d-4563-b8ee-9ab393869233
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "1. Soient \\(c\\) et \\(s\\) les fonctions definies par \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad c(x)=\\cos x\\quad\\text{et}\\quad s(x)=\\sin x.\\] Montrer que \\(\\{c,s\\}\\) est une famille libre de \\(E\\). Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel \\(T\\) engendre par la famille \\(\\{c,s\\}\\)?"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 75a2472c-7c59-4f78-9cc7-98995c5a3676
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "2. Soient \\(\\alpha,\\beta,\\gamma\\) trois reels fixes. Soient \\(f,g,h\\) les fonctions definies par \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad f(x)=\\cos(x+\\alpha),\\quad g(x)=\\cos(x+\\beta) \\quad\\text{et}\\quad h(x)=\\cos(x+\\gamma).\\] Montrer que \\(f,g,h\\) appartiennent a \\(T\\), et expliciter leurs coordonnees dans la base \\(\\{c,s\\}\\) de \\(T\\). La famille \\(\\{f,g,h\\}\\) est-elle libre? Quel est son rang?"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 4cfbdfe5-6fe6-41e6-b137-db7dc69684cc
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "3. Soient \\(a_{1},a_{2},a_{3}\\) trois reels distincts. Pour tout entier \\(k\\in\\{1,2,3\\}\\) on note \\(f_{k}\\) la fonction definie sur \\(\\mathbb{R}\\) par \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad f_{k}(x)=\\left|x-a_{k}\\right|.\\] Montrer que \\(\\{f_{1},f_{2},f_{3}\\}\\) est une famille libre de \\(E\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 4659ef57-4325-4109-9aec-0d75e9a618e6
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 8**:\n1. On rappelle que \\(\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})\\) designe l'espace des fonctions continues de \\(\\mathbb{R}\\) dans \\(\\mathbb{R}\\). Montrer que \\(\\mathcal{A}:=\\{f\\in\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})|\\forall x\\in\\mathbb{R},\\;f(x)= f(-x)\\}\\) et \\(\\mathcal{B}:=\\{f\\in\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})|\\forall x\\in\\mathbb{R},\\;f(x)= -f(-x)\\}\\) sont des sous-espaces vectoriels de \\(\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})\\). Sont-ils en somme directe?"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: e90d431d-7ebf-4db8-bc72-c4ee8bf18225
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "2. Montrer que \\(A:=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^{3}|x+y+z=0\\}\\) et \\(B:=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^{3}|x-y+z=0\\}\\) sont des sous-espaces vectoriels de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). Sont-ils en somme directe?"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: a322d2f5-1a5e-4763-874c-78fab8a7fbf6
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 9**:\n1. Soient \\(F:=\\{(x,x,x)\\in\\mathbb{R}^{3}|x\\in\\mathbb{R}\\}\\) et \\(G:=\\{(0,y,z)\\in\\mathbb{R}^{3}|y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\). Montrer que \\(F\\) et \\(G\\) sont deux sous-espaces vectoriels de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). Preciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils en somme directe?\n2. Soit \\(H:=\\{(x,y,z,t)\\in\\mathbb{R}^{4}|x=2y-z,\\;t=x+y+z\\}\\). Verifier que \\(H\\) est un sous-espace vectoriel de \\(\\mathbb{R}^{4}\\). En donner une base et la dimension."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: d5829ca8-b47d-4b24-b682-0587f228ef93
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 10**: Soient \\((E,+,\\cdot)\\) un \\(\\mathbb{R}\\)-espace vectoriel et \\(A,B,C\\) trois sous-espaces vectoriels de \\(E\\).\n\n1. Montrer que \\((A\\cap C)+(B\\cap C)\\subset(A+B)\\cap C\\). Donner un exemple dans \\(\\mathbb{R}^{2}\\) pour lequel l'inclusion est stricte.\n2. Montrer que, si \\(A+B=A+C\\), \\(A\\cap B=A\\cap C\\) et \\(B\\subset C\\), alors \\(B=C\\).\n\n**Exercice 11**: On considere l'application donnee par"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 53b0735d-2144-40bc-ad16-ca39a60c47e6
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 11**: On considere l'application donnee par\n\n1. Montrer que \\(\\varphi\\) est une application lineaire. Determiner l'image par \\(\\varphi\\) des vecteurs de la base canonique \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3}\\}\\) de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). Calculer \\(\\varphi(2\\mathbf{e}_{1}+\\mathbf{e}_{2}-\\mathbf{e}_{3})\\).\n2. Determiner le noyau de \\(\\varphi\\). En donner une base et preciser sa dimension."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 96d25e8b-710f-4e26-97a5-f0ce3d11ccd7
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "3. L'application \\(\\varphi\\) est-elle injective? surjective? bijective?\n4. Soit \\(\\psi\\) l'application lineaire donnee par \\[\\psi\\colon \\mathbb{R}^{2} \\longrightarrow \\mathbb{R}^{3}\\] \\[\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\end{array}\\right) \\longmapsto \\left(\\begin{array}{c}x-y\\\\ x+y\\\\ x+2y\\end{array}\\right).\\] Determiner \\(\\varphi\\circ\\psi\\).\n\n**Exercice 12**: On considere l'application donnee par"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 7caf84ef-9760-45a0-9485-0b64a80633a8
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 12**: On considere l'application donnee par\n\n\\[\\varphi\\colon \\mathbb{R}^{3} \\longrightarrow \\mathbb{R}^{2}\\] \\[\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\\\ z\\end{array}\\right) \\longmapsto \\left(\\begin{array}{c}y+z\\\\ x\\end{array}\\right)\\]\n\nainsi que les vecteurs \\(\\mathbf{u}:=(1,2,3)^{t}\\) et \\(\\mathbf{v}:=(1,1,1)^{t}\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: fd70b09d-dcea-4ea3-a5d9-fcbfe94866dc
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "1. Montrer que \\(\\varphi\\) est lineaire. Determiner \\(\\varphi(\\mathbf{u})\\), \\(\\varphi(\\mathbf{v})\\) et \\(\\varphi(\\mathbf{u}-2\\mathbf{v})\\).\n2. Determiner le noyau de \\(\\varphi\\). En donner une base et preciser sa dimension.\n3. Determiner l'image de \\(\\varphi\\). En donner une base et preciser sa dimension."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: ad290236-7fa1-4c37-bf7b-ef46798040bc
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "**Exercice 13**: Soient \\(E\\) et \\(F\\) deux \\(\\mathbb{R}\\)-espaces vectoriels et \\(\\varphi\\) une application lineaire de \\(E\\) dans \\(F\\). Soit \\(\\mathcal{A}:=\\{x_{1},\\ldots,x_{m}\\}\\) une famille de vecteurs de \\(E\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 52942038-7d25-4061-ada3-181d300bf7b4
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "1. Montrer que, si \\(\\mathcal{A}\\) est liee, alors \\(f(\\mathcal{A})=\\{\\varphi(x_{1}),\\ldots,\\varphi(x_{m})\\}\\) est liee.\n2. Montrer que, si \\(\\varphi(\\mathcal{A})\\) est libre, alors \\(\\mathcal{A}\\) est libre.\n3. Montrer que, si \\(\\mathcal{A}\\) est libre et \\(\\varphi\\) est injective, alors \\(\\varphi(\\mathcal{A})\\) est libre."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: a88970de-fd0a-47d1-a346-909cfe287ea5
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "1. Pour tout \\(x\\in E\\), \\(2\\cdot x=(1+1)\\cdot x=1\\cdot x+1\\cdot x=x+x\\), ou l'on a utilise successivement les axiomes (II-2) et (II-4)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
topic: persistent://default/default/9ed4fafd-0391-481a-9f23-8664b1151071
id: 474c77c8-b14f-4db4-918a-f5d7ee1f9b54
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "2. On a : \\[\\begin{array}{rcl}0_{\\mathbb{K}}\\cdot x&=&(0_{\\mathbb{K}}2)\\cdot x\\\\ &=&0_{\\mathbb{K}}\\cdot(2\\cdot x)&\\text{[d'apres l'axiome (II-3)]}\\\\ &=&0_{\\mathbb{K}}\\cdot(x+x)&\\text{[d'apres la question (1)]}\\\\ &=&0_{\\mathbb{K}}\\cdot x+0_{\\mathbb{K}}\\cdot x.\\end{array}\\] En simplifiant (c'est-a-dire, en ajoutant \\(-(0_{\\mathbb{K}}\\cdot x)\\) des deux cotes), on obtient l'egalite \\(0_{E}=0_{\\mathbb{K}}\\cdot x\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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{"chroma:document": "3. D'apres la question (2), \\(0_{E}=0_{\\mathbb{K}}\\cdot x=(1+(-1))\\cdot x=(1\\cdot x)+((-1)\\cdot x)=x+((-1) \\cdot x)\\), ou la troisieme egalite resulte de l'axiome (II-2) et ou la derniere egalite resulte de l'axiome (II-4). On en deduit que \\((-1)\\cdot x\\) est le symetrique de \\(x\\), c'est-a-dire, \\(-x\\)."}


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{"chroma:document": "**Solution de l'exercice 2**: Nous devons montrer que pour tous \\(x,y\\in F\\) et pour tout \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\), \\(x+\\alpha y\\in F\\). Soient donc \\(x,y\\in F\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\) quelconques. Par definition de l'intersection, pour tout \\(k\\in\\{1,\\ldots,m\\}\\), \\(x,y\\in F_{k}\\). Comme \\(F_{k}\\) est un sous-espace vectoriel de \\(E\\) nous deduisons que\n\n\\[x+\\alpha y\\in F_{k},\\]et ce pour tout \\(k\\in\\{1,\\ldots,m\\}\\). Donc \\(x+\\alpha y\\) appartient a l'intersection des \\(F_{k}\\), c'est-a-dire, a \\(F\\)."}


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{"chroma:document": "**Solution de l'exercice 3** : Remarquons tout d'abord que \\(F\\) est non vide, puisque que\n\n\\[0_{E}=0\\cdot x_{1}+\\cdots+0\\cdot x_{m}\\in F.\\]\n\nSoient \\(x,y\\in F\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\) quelconques. Alors \\(x\\) et \\(y\\) s'ecrivent\n\n\\[x=\\alpha_{1}x_{1}+\\cdots+\\alpha_{m}x_{m}\\quad\\mbox{et}\\quad y=\\beta_{1}x_{1}+ \\cdots+\\beta_{m}x_{m},\\]\n\navec \\(\\alpha_{1},\\ldots,\\alpha_{m},\\beta_{1},\\ldots,\\beta_{m}\\in\\mathbb{R}\\). Donc,"}


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{"chroma:document": "\\[x+\\alpha y = (\\alpha_{1}x_{1}+\\cdots+\\alpha_{m}x_{m})+\\alpha(\\beta_{1}x_{1}+ \\cdots+\\beta_{m}x_{m})\\] \\[= (\\alpha_{1}+\\alpha\\beta_{1})x_{1}+\\cdots+(\\alpha_{m}+\\alpha\\beta _{m})x_{m}.\\]\n\nPar consequent, \\(x+\\alpha y\\) est une combinaison lineaire des vecteurs \\(x_{1},\\ldots,x_{m}\\), c'est-a-dire, un element de \\(F\\)."}


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{"chroma:document": "1. Supposons que \\(A\\subset B\\), et montrons que tout element de \\(\\mbox{vect}\\,A\\) appartient a vect \\(B\\). Soit donc \\(x\\) quelconque dans \\(\\mbox{vect}\\,A=\\emptyset\\), alors \\(\\mbox{vect}\\,A=\\{0\\}\\) et donc \\(x\\) est forcement le vecteur nul. Comme \\(\\mbox{vect}\\,B\\) est un sous-espace vectoriel, \\(\\mbox{vect}\\,B\\ni 0\\) et l'on a bien \\(\\mbox{vect}\\,A\\subset\\mbox{vect}\\,B\\). Si \\(A\\) est non vide, alors \\[\\exists p\\in\\mathbb{N}^{*},\\ \\exists x_{1},\\ldots,x_{p}\\in A,\\ \\exists\\alpha_{1},\\ldots,"}


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{"chroma:document": "\\exists x_{1},\\ldots,x_{p}\\in A,\\ \\exists\\alpha_{1},\\ldots, \\alpha_{p}\\in\\mathbb{R}\\colon\\quad x=\\alpha_{1}x_{1}+\\cdots+\\alpha_{p}x_{p}.\\] Puisque \\(A\\subset B\\), les \\(x_{k}\\) sont aussi dans \\(B\\), de sorte que \\(x\\) est une combinaison lineaire de vecteurs de \\(B\\), c'est-a-dire, un element de \\(\\mbox{vect}\\,B\\). On a donc encore \\(\\mbox{vect}\\,A\\subset\\mbox{vect}\\,B\\)."}


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{"chroma:document": "2. Supposons que \\(A=\\mbox{vect}\\,A\\). Puisque \\(\\mbox{vect}\\,A\\) est un sous-espace vectoriel, il en est de meme de \\(A\\). Reciproquement, supposons que \\(A\\) soit un sous-espace vectoriel, et montrons que \\(A=\\mbox{vect}\\,A\\). Remarquons que tout element de \\(A\\) est une combinaison lineaire particuliere d'elements de \\(A\\) (prendre \\(p=1\\), \\(\\alpha_{1}=1\\) et \\(x_{1}=x\\)). Donc on a clairement l'inclusion \\(A\\subset\\mbox{vect}\\,A\\). De plus, si \\(A\\) est un sous-espace vectoriel, alors \\(A\\) est non"}


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metadata:
{"chroma:document": "si \\(A\\) est un sous-espace vectoriel, alors \\(A\\) est non vide. Soit alors \\(x\\in\\mbox{vect}\\,A\\) : \\[\\exists p\\in\\mathbb{N}^{*},\\ \\exists x_{1},\\ldots,x_{p}\\in A,\\ \\exists\\alpha_{1},\\ldots,\\alpha_{p}\\in\\mathbb{R}\\colon\\quad x= \\alpha_{1}x_{1}+\\cdots+\\alpha_{p}x_{p}.\\] Puisque \\(A\\) est stable par combinaison lineaire, \\(x\\in A\\). On a donc aussi l'inclusion \\(\\mbox{vect}\\,A\\subset A\\)."}


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{"chroma:document": "3. D'apres le point (1), \\(\\mbox{vect}\\,A\\subset\\mbox{vect}\\,B\\subset\\mbox{vect}\\,F\\). Or, \\(\\mbox{vect}\\,F=F\\) puisque \\(F\\) est un sous-espace vectoriel. De plus, \\(\\mbox{vect}\\,A=F\\) puisque \\(A\\) engendre \\(F\\). Finalement, on a : \\[F\\subset\\mbox{vect}\\,B\\subset F,\\] ce qui montre que \\(\\mbox{vect}\\,B=F\\). Autrement dit, \\(B\\) engendre \\(F\\)."}


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{"chroma:document": "**Solution de l'exercice 5** : On resout l'equation vectorielle \\(\\alpha\\mathbf{e}_{1}+\\beta\\mathbf{e}_{2}+\\gamma\\mathbf{e}_{3}+\\delta\\mathbf{e}_ {4}=\\mathbf{0}\\). Ceci revient resoudre le systeme lineaire\n\n\\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}0&=&\\alpha+\\gamma+2\\delta,\\\\ 0&=&\\alpha+\\beta+\\delta,\\\\ 0&=&\\alpha+2\\beta-2\\gamma,\\\\ 0&=&\\alpha-\\beta+3\\gamma-\\delta.\\end{array}\\right.\\]"}


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{"chroma:document": "On trouve que la seule solution possible est \\(\\alpha=\\beta=\\gamma=\\delta=0\\). Donc la famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\) est libre, et puisque son cardinal est egal a la dimension de \\(\\mathbb{R}^{4}\\), c'est une base de \\(\\mathbb{R}^{4}\\).\n\n**Solution de l'exercice 6**:"}


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{"chroma:document": "1. On resout l'equation vectorielle \\(\\alpha\\mathbf{e}_{1}+\\beta\\mathbf{e}_{2}+\\gamma\\mathbf{e}_{3}+\\delta\\mathbf{e }_{4}=\\mathbf{0}.\\) Ceci revient resoudre le systeme lineaire \\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}0&=&\\alpha+\\gamma+\\delta,\\\\ 0&=&\\alpha+\\beta+\\delta,\\\\ 0&=&\\alpha+2\\beta-2\\gamma+2\\delta,\\\\ 0&=&\\alpha+\\beta+3\\gamma-2\\delta.\\end{array}\\right.\\] On trouve que ce systeme est equivalent au systeme \\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}0&=&\\alpha+\\gamma+\\delta,\\\\ 0&=&\\beta-\\gamma,\\\\"}


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metadata:
{"chroma:document": "0&=&\\beta-\\gamma,\\\\ 0&=&\\gamma-\\delta.\\end{array}\\right.\\] Ce systeme admet d'autres solutions que la solution nulle. On en deduit que \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\) n'est pas libre."}


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{"chroma:document": "2. D'apres ce qui precede, le rang de la famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\) est inferieur ou egal a 3. On considere alors la famille \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3}\\}.\\) On verifie facilement qu'elle est libre, de sorte que le rang cherche est en fait egal a 3."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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{"chroma:document": "3. Pour que \\(\\mathbf{u}\\) appartienne au _sev_ engendre par \\(\\{\\mathbf{e}_{1},\\mathbf{e}_{2},\\mathbf{e}_{3},\\mathbf{e}_{4}\\}\\), il faut que l'equation vectorielle \\[\\mathbf{u}=\\alpha\\mathbf{e}_{1}+\\beta\\mathbf{e}_{2}+\\gamma\\mathbf{e}_{3}+ \\delta\\mathbf{e}_{4}\\] admette au moins une solution. On cherche donc a resoudre le systeme lineaire \\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}1&=&\\alpha+\\gamma+\\delta,\\\\ 1&=&\\alpha+\\beta+\\delta,\\\\ a&=&\\alpha+2\\beta-2\\gamma+2\\delta,\\\\"}


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metadata:
{"chroma:document": "1&=&\\alpha+\\beta+\\delta,\\\\ a&=&\\alpha+2\\beta-2\\gamma+2\\delta,\\\\ b&=&\\alpha+\\beta+3\\gamma-2\\delta.\\end{array}\\right.\\] On verifie que ce systeme est equivalent au systeme \\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}1&=&\\alpha+\\gamma+\\delta,\\\\ 0&=&\\beta-\\gamma,\\\\ a-1&=&-\\gamma+\\delta,\\\\ b-1&=&3\\gamma-3\\delta.\\end{array}\\right.\\] En considerant les deux dernieres equations, on voit que le systeme n'a de solution que si \\(b-1=-3(a-1)\\), c'est-a-dire, si \\(b+3a=4.\\)"}


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metadata:
{"chroma:document": "1. Considerons l'equation \\(\\alpha c+\\beta s=0\\) dans \\(\\mathbb{R}^{\\mathbb{R}}.\\) Cette equation est equivalente a \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad\\alpha\\cos x+\\beta\\sin x=0.\\] Les choix \\(x=0\\) et \\(x=\\pi/2\\) donnent respectivement \\(\\alpha=0\\) et \\(\\beta=0.\\) La famille \\(\\{c,s\\}\\) est donc libre, et la dimension de \\(T\\) est egale a 2."}


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metadata:
{"chroma:document": "2. Puisque \\(\\cos(x+\\alpha)=\\cos x\\cos\\alpha-\\sin x\\sin\\alpha,\\) on voit que \\[f=\\cos\\alpha\\cdot c-\\sin\\alpha\\cdot s\\in T\\] et que les coordonnees de \\(f\\) dans la base \\(\\{c,s\\}\\) de \\(T\\) sont donnees par le couple \\((\\cos\\alpha,-\\sin\\alpha).\\) De meme, \\[g=\\cos\\beta\\cdot c-\\sin\\beta\\cdot s\\in T\\quad\\mbox{et}\\quad h=\\cos\\gamma \\cdot c-\\sin\\gamma\\cdot s\\in T;\\]les coordonnees de \\(g\\) et \\(h\\) dans la base \\(\\{c,s\\}\\) de \\(T\\) sont donnees respectivement par les couples \\((\\cos\\beta,-\\sin\\beta)\\) et"}


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{"chroma:document": "respectivement par les couples \\((\\cos\\beta,-\\sin\\beta)\\) et \\((\\cos\\gamma,-\\sin\\gamma)\\). La famille \\(\\{f,g,h\\}\\) ne peut pas etre libre, puisque son cardinal est egal a 3 alors que la dimension de l'espace vectoriel \\(T\\) est egale a 2. Son rang vaut au plus 2 (car \\(\\dim T=2\\)) et au moins 1 (car les fonctions \\(f,g,h\\) sont non nulles). Le rang est egal a 1 lorsque \\(f,g,h\\) sont colineaires, c'est-a dire lorsqu'il existe \\(a\\) et \\(b\\) dans \\(\\mathbb{R}\\) tels que \\(f=ag=bh\\) ou, de maniere"}


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metadata:
{"chroma:document": "\\(b\\) dans \\(\\mathbb{R}\\) tels que \\(f=ag=bh\\) ou, de maniere equivalente, lorsque \\[\\left(\\begin{array}{c}\\cos\\alpha\\\\ -\\sin\\alpha\\end{array}\\right)=a\\left(\\begin{array}{c}\\cos\\beta\\\\ -\\sin\\beta\\end{array}\\right)=b\\left(\\begin{array}{c}\\cos\\gamma\\\\ -\\sin\\gamma\\end{array}\\right).\\] Des equations \\(\\cos\\alpha=a\\cos\\beta\\) et \\(\\sin\\alpha=a\\sin\\beta\\) on tire, en les elevant au carre et en les sommant, que \\(a^{2}=1\\), c'est-a-dire, que \\(a\\in\\{-1,1\\}\\). Si \\(a=1\\), alors \\(\\beta=\\alpha+2k\\pi\\), et si"}


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metadata:
{"chroma:document": "Si \\(a=1\\), alors \\(\\beta=\\alpha+2k\\pi\\), et si \\(a=-1\\), alors \\(\\beta=\\alpha+\\pi+2k\\pi\\). En resume, \\(f\\) et \\(g\\) sont colineaires si et seulement si \\(\\beta\\in\\{\\alpha\\}+\\pi\\mathbb{Z}\\). De meme, \\(f\\) et \\(h\\) sont colineaires si et seulement si \\(\\gamma\\in\\{\\alpha\\}+\\pi\\mathbb{Z}\\). La famille \\(\\{f,g,h\\}\\) est donc de rang 1 lorsque \\(\\alpha\\), \\(\\beta\\) et \\(\\gamma\\) different d'un multiple entier de \\(\\pi\\) ; elle est de rang 2 dans le cas contraire."}


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metadata:
{"chroma:document": "3. Considerons l'equation \\(\\alpha f_{1}+\\beta f_{2}+\\gamma f_{3}=0\\) dans \\(\\mathbb{R}^{\\mathbb{R}}\\), qui equivaut a la condition \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad\\alpha f_{1}(x)+\\beta f_{2}(x)+\\gamma f_{3}(x)=0.\\] Les choix \\(x=a_{1}\\), \\(x=a_{2}\\) et \\(x=a_{3}\\) donnent respectivement les equations \\[\\beta\\left|a_{1}-a_{2}\\right|+\\gamma\\left|a_{1}-a_{3}\\right| = 0,\\] \\[\\alpha\\left|a_{2}-a_{1}\\right|+\\gamma\\left|a_{2}-a_{3}\\right| = 0,\\] \\[\\alpha\\left|a_{3}-a_{1}\\right|+\\beta\\left|a_{3}-a_{2}\\right| = 0.\\]"}


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metadata:
{"chroma:document": "= 0.\\] Posons \\(a:=\\left|a_{3}-a_{1}\\right|\\), \\(b:=\\left|a_{3}-a_{2}\\right|\\) et \\(c:=\\left|a_{1}-a_{2}\\right|\\). Le systeme d'equations precedent s'ecrit \\[\\left\\{\\begin{array}{ccl}0&=&a\\alpha+b\\beta,\\\\ 0&=&c\\alpha+b\\gamma,\\\\ 0&=&c\\beta+a\\gamma.\\end{array}\\right.\\] En resolvant ce systeme lineaire, et en tenant compte du fait que \\(a\\), \\(b\\) et \\(c\\) sont non nuls, on voit que la seule solution possible est \\(\\alpha=\\beta=\\gamma=0\\). On peut aussi ecrire le systeme sous forme matricielle, et remarquer,"}


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metadata:
{"chroma:document": "aussi ecrire le systeme sous forme matricielle, et remarquer, pour arriver a la meme conclusion, que la matrice \\[\\left[\\begin{array}{ccc}a&b&0\\\\ c&0&b\\\\ 0&c&a\\end{array}\\right]\\] a pour determinant le reel non nul \\(-2abc\\)."}


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metadata:
{"chroma:document": "1. La fonction nulle \\(\\nu\\) (definie par \\(\\nu(x)=0\\) pour tout \\(x\\in\\mathbb{R}\\)) appartient a \\(\\mathcal{A}\\) et a \\(\\mathcal{B}\\). Donc, \\(\\mathcal{A}\\) et \\(\\mathcal{B}\\) sont non vides. De plus, pour toutes fonctions \\(f,g\\in\\mathcal{A}\\) et tout reel \\(\\alpha\\), la fonction \\(f+\\alpha g\\) satisfait : \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad(f+\\alpha g)(x)=f(x)+\\alpha g(x)=f(-x)+\\alpha g(-x)=( f+\\alpha g)(-x).\\] Par consequent, \\(f+\\alpha g\\in\\mathcal{A}\\). Donc \\(\\mathcal{A}\\) est un sous-espace vetoriel de"}


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encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "Donc \\(\\mathcal{A}\\) est un sous-espace vetoriel de \\(\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})\\). De meme, pour toutes fonctions \\(f,g\\in\\mathcal{B}\\) et tout reel \\(\\alpha\\), la fonction \\(f+\\alpha g\\) satisfait : \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\quad(f+\\alpha g)(x)=f(x)+\\alpha g(x)=-f(-x)-\\alpha g(-x)=-( f+\\alpha g)(-x).\\]Par consequent, \\(f+\\alpha g\\in\\mathcal{A}\\). Donc \\(\\mathcal{B}\\) est un sous-espace vetoriel de \\(\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})\\). Soit maintenant \\(f\\) une fonction de \\(\\mathcal{A}\\cap\\mathcal{B}\\)."}


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{"chroma:document": "\\(f\\) une fonction de \\(\\mathcal{A}\\cap\\mathcal{B}\\). Alors, pour tout \\(x\\in\\mathbb{R}\\), \\[f(x)=f(-x)\\quad\\mbox{et}\\quad f(x)=-f(-x),\\] ce qui montre que \\(f(x)=0\\). Donc \\(f=\\nu\\). On en deduit que \\(\\mathcal{A}\\cap\\mathcal{B}=\\{\\nu\\}=\\{0_{\\mathcal{C}_{0}(\\mathbb{R})}\\}\\), et que \\(\\mathcal{A}\\) et \\(\\mathcal{B}\\) sont en somme directe."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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metadata:
{"chroma:document": "2. Il est facile de voir que \\(A\\) et \\(B\\) contiennent le vecteur \\(\\mbox{nul}\\ (0,0,0)\\). De plus, si \\((x,y,z)\\) et \\((x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime})\\) appartiennent a \\(A\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\), alors \\((x,y,z)+\\alpha(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime})=(x+\\alpha x^{\\prime},y+\\alpha y ^{\\prime},z+\\alpha z^{\\prime})\\) satisfait \\[(x+\\alpha x^{\\prime})+(y+\\alpha y^{\\prime})+(z+\\alpha z^{\\prime})=(x+y+z)+ \\alpha(x^{\\prime}+y^{\\prime}+z^{\\prime})=0.\\] Donc"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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{"chroma:document": "\\alpha(x^{\\prime}+y^{\\prime}+z^{\\prime})=0.\\] Donc \\((x,y,z)+\\alpha(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime})\\in A\\), et \\(A\\) est un sous-espace vectoriel de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). De meme, si \\((x,y,z)\\) et \\((x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime})\\) appartiennent a \\(B\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\), alors \\((x,y,z)+\\alpha(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime})=(x+\\alpha x^{\\prime},y+\\alpha y ^{\\prime},z+\\alpha z^{\\prime})\\) satisfait \\[(x+\\alpha x^{\\prime})-(y+\\alpha y^{\\prime})+(z+\\alpha z^{\\prime})=(x-y+z)+"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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{"chroma:document": "y^{\\prime})+(z+\\alpha z^{\\prime})=(x-y+z)+ \\alpha(x^{\\prime}-y^{\\prime}+z^{\\prime})=0.\\] Donc \\((x,y,z)+\\alpha(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime})\\in B\\), et \\(B\\) est un sous-espace vectoriel de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). Soit maintenant \\((x,y,z)\\) un vecteur de \\(A\\cap B\\). Alors, \\[x+y+z=0\\quad\\mbox{et}\\quad x-y+z=0.\\] Le vecteur \\((1,0,-1)\\) satisfait les deux equations ci-dessus. On voit donc que \\(A\\cap B\\) n'est pas reduit a \\(\\{(0,0,0)\\}\\). Les sous-espaces \\(A\\) et \\(B\\) ne sont pas en somme directe."}


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{"chroma:document": "1. Il est facile de voir que le vecteur \\((0,0,0)\\) appartient a \\(F\\) et a \\(G\\). Donc \\(F\\) et \\(G\\) sont non vides. Soient \\((x,x,x),(y,y,y)\\in F\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\). Alors \\[(x,x,x)+\\alpha(y,y,y)=(x+\\alpha y,x+\\alpha y,x+\\alpha y)\\in F.\\] Donc \\(F\\) est un sous-espace vectoriel de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). Soient \\((0,y,z),(0,y^{\\prime},z^{\\prime})\\in G\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\). Alors \\[(0,y,z)+\\alpha(0,y^{\\prime},z^{\\prime})=(0,y+\\alpha y^{\\prime},z+\\alpha z^{ \\prime})\\in G.\\] Donc \\(G\\) est un"}


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{"chroma:document": "y^{\\prime},z+\\alpha z^{ \\prime})\\in G.\\] Donc \\(G\\) est un sous-espace vectoriel de \\(\\mathbb{R}^{3}\\). On voit que \\[F=\\{x(1,1,1)|x\\in\\mathbb{R}\\}=\\mbox{vect}\\{(1,1,1)\\},\\] \\[G=\\{y(0,1,0)+z(0,0,1)|x,y\\in\\mathbb{R}\\}=\\mbox{vect}\\{(0,1,0),(0,0,1)\\}.\\] De plus, on verifie facilement que les familles \\(\\{(1,1,1)\\}\\) et \\(\\{(0,1,0),(0,0,1)\\}\\) sont libres. Elles forment donc des bases respectives de \\(F\\) et \\(G\\). On en deduit que \\(\\mbox{dim}\\,F=1\\) et \\(\\mbox{dim}\\,G=2\\). Enfin, si \\((x,y,z)\\in F\\cap G\\),"}


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{"chroma:document": "et \\(\\mbox{dim}\\,G=2\\). Enfin, si \\((x,y,z)\\in F\\cap G\\), alors \\(x=y=z\\) et \\(x=0\\). Donc \\(F\\cap G=\\{(0,0,0)\\}\\), et \\(F\\) et \\(G\\) sont en somme directe."}


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metadata:
{"chroma:document": "2. On verifie facilement que \\((0,0,0,0)\\in H\\), de sorte que \\(F\\neq\\emptyset\\). Soient \\((x,y,z,t),(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime},t^{\\prime})\\in H\\) et \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\). Alors, \\((x,y,z,t)+\\alpha(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime},t^{\\prime})=(x+\\alpha x^{ \\prime},y+\\alpha y^{\\prime},z+\\alpha z^{\\prime},t+\\alpha t^{\\prime})\\) satisfait : \\[x+\\alpha x^{\\prime}=2y-z+\\alpha(2y^{\\prime}-z^{\\prime})=2(y+\\alpha y^{\\prime})-( z+\\alpha z^{\\prime}),\\] \\[t+\\alpha"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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{"chroma:document": "y^{\\prime})-( z+\\alpha z^{\\prime}),\\] \\[t+\\alpha t^{\\prime}=x+y+z+\\alpha(x^{\\prime}+y^{\\prime}+z^{\\prime})=(x+\\alpha x^{\\prime})+(y+\\alpha y ^{\\prime})+(z+\\alpha z^{\\prime}),\\] ce qui montre que \\((x,y,z,t)+\\alpha(x^{\\prime},y^{\\prime},z^{\\prime},t^{\\prime})\\in H\\). Donc \\(H\\) est un sous-espace vectoriel de \\(\\mathbb{R}^{4}\\). De plus, \\[H = \\{(2y-z,y,z,x+y+z)|x,y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\] \\[= \\{x(0,0,0,1)+y(2,1,0,1)+z(-1,0,1,1)|x,y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\] \\[="}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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{"chroma:document": "\\{x(0,0,0,1)+y(2,1,0,1)+z(-1,0,1,1)|x,y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\] \\[= \\mbox{vect}\\{(0,0,0,1),(2,1,0,1),(-1,0,1,1)\\}.\\]Considerons l'equation vectorielle \\(\\alpha(0,0,0,1)+\\beta(2,1,0,1)+\\gamma(-1,0,1,1)=(0,0,0,0)\\). Cette equation equivaut au systeme \\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}0&=&2\\beta+\\gamma\\\\ 0&=&2\\beta\\\\ 0&=&\\gamma\\\\ 0&=&\\alpha+\\beta+\\gamma\\end{array}\\right.\\] dont l'unique solution est \\(\\alpha=\\beta=\\gamma=0\\). La famille \\(\\{(0,0,0,1),(2,1,0,1),(-1,0,1,1)\\}\\) est donc libre, et c'est une base de \\(H\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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metadata:
{"chroma:document": "1. Soit \\(x\\in(A\\cap C)+(B\\cap C)\\). Alors \\(x=a+b\\) avec \\(a\\in A\\cap C\\) et \\(b\\in B\\cap C\\). Puisque \\(a\\in C\\) et \\(b\\in C\\) et \\(C\\) est un sev, \\(a+b\\in C\\). Donc \\(x\\) appartient a \\(A+B\\) et a \\(C\\). Dans \\(\\mathbb{R}^{2}\\), Si l'on prend \\(A=\\mbox{vect}\\{e_{1}\\}\\), \\(B=\\mbox{vect}\\{e_{2}\\}\\) et \\(C=\\mbox{vect}\\{e_{1}+e_{2}\\}\\), ou \\(\\{e_{1},e_{2}\\}\\) est la base canonique, alors \\[(A\\cap C)+(B\\cap C)=\\{0\\}\\cap\\{0\\}=\\{0\\}\\quad\\mbox{et}\\quad(A+B)\\cap C=\\mathbb{ R}^{2}\\cap C=C.\\]"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "2. Puisque \\(B\\subset C\\), il suffit de montrer que \\(C\\subset B\\). Soit donc \\(x\\in C\\). Puisque \\(0_{E}\\in A\\), \\(x=0_{E}+x\\in A+C\\). Puisque \\(A+C=A+B\\), on peut ecrire \\(x=a+b\\) avec \\(a\\in A\\) et \\(b\\in B\\). Maintenant, \\(a=x-b\\), ou \\(x\\in C\\) et \\(x\\in B\\subset C\\), et puisque \\(C\\) est un sev, \\(a\\in C\\). Donc \\(a\\in A\\cap C=B\\cap C\\). Donc \\(a\\in B\\). Finalement, \\(x=a+b\\) avec \\(a\\in B\\) et \\(b\\in B\\). Puisque \\(B\\) est un sev, \\(x\\in B\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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metadata:
{"chroma:document": "1. Verifions que \\(\\varphi\\) est lineaire : \\[\\varphi\\left(\\alpha\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\\\ z\\end{array}\\right)+\\beta\\left(\\begin{array}{c}x^{\\prime}\\\\ y^{\\prime}\\\\ z^{\\prime}\\end{array}\\right)\\right)\\] \\[= \\varphi\\left(\\begin{array}{c}\\alpha x+\\beta x^{\\prime}\\\\ \\alpha y+\\beta y^{\\prime}\\\\ \\alpha z+\\beta z^{\\prime}\\end{array}\\right)\\] \\[= \\left(\\begin{array}{c}-(\\alpha x+\\beta x^{\\prime})+2(\\alpha y+ \\beta y^{\\prime})+2(\\alpha z+\\beta z^{\\prime})\\\\ -8(\\alpha x+\\beta x^{\\prime})+7(\\alpha y+\\beta"}


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{"chroma:document": "z^{\\prime})\\\\ -8(\\alpha x+\\beta x^{\\prime})+7(\\alpha y+\\beta y^{\\prime})+4(\\alpha z+\\beta z^ {\\prime})\\\\ -13(\\alpha x+\\beta x^{\\prime})+5(\\alpha y+\\beta y^{\\prime})+8(\\alpha z+\\beta z ^{\\prime})\\end{array}\\right)\\] \\[= \\alpha\\left(\\begin{array}{c}-x+2y+2z\\\\ -8x+7y+4z\\\\ -13x+5y+8z\\end{array}\\right)+\\beta\\left(\\begin{array}{c}-x^{\\prime}+2y^{ \\prime}+2z^{\\prime}\\\\ -8x^{\\prime}+7y^{\\prime}+4z^{\\prime}\\\\ -13x^{\\prime}+5y^{\\prime}+8z^{\\prime}\\end{array}\\right)\\] \\[= \\alpha\\varphi\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\\\"}


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{"chroma:document": "\\[= \\alpha\\varphi\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\\\ z\\end{array}\\right)+\\beta\\varphi\\left(\\begin{array}{c}x^{\\prime}\\\\ y^{\\prime}\\\\ z^{\\prime}\\end{array}\\right).\\]"}


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encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "Ensuite,\n\n\\[\\varphi(\\mathbf{e}_{1})=\\left(\\begin{array}{c}-1\\\\ -8\\\\ -13\\end{array}\\right),\\quad\\varphi(\\mathbf{e}_{2})=\\left(\\begin{array}{c}2\\\\ 7\\\\ 5\\end{array}\\right),\\quad\\varphi(\\mathbf{e}_{3})=\\left(\\begin{array}{c}2\\\\ 4\\\\ 8\\end{array}\\right).\\]\n\nEnfin, \\(2\\mathbf{e}_{1}+\\mathbf{e}_{2}-\\mathbf{e}_{3}=(2,1,-1)^{t}\\), de sorte que"}


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metadata:
{"chroma:document": "\\[\\varphi(2\\mathbf{e}_{1}+\\mathbf{e}_{2}-\\mathbf{e}_{3}) = 2\\varphi(\\mathbf{e}_{1})+\\varphi(\\mathbf{e}_{2})-\\varphi(\\mathbf{e }_{3})\\] \\[= 2\\left(\\begin{array}{c}-1\\\\ -8\\\\ -13\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}2\\\\ 7\\\\ 5\\end{array}\\right)-\\left(\\begin{array}{c}2\\\\ 4\\\\ 8\\end{array}\\right)\\;=\\;\\left(\\begin{array}{c}-2\\\\ -13\\\\ -29\\end{array}\\right).\\]2. On cherche les solutions de l'equation vectorielle \\(\\varphi(\\mathbf{x})=\\mathbf{0}\\). En notant \\(\\mathbf{x}=(x,y,z)^{t}\\), on obtient le systeme"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "En notant \\(\\mathbf{x}=(x,y,z)^{t}\\), on obtient le systeme \\[\\left\\{\\begin{array}{rcl}0&=&-x+2y+2z,\\\\ 0&=&-8x+7y+4z,\\\\ 0&=&-13x+5y+8z.\\end{array}\\right.\\] La seule solution de ce systeme est le vecteur nul, ce que l'on peut voir aussi en calculant le determinant de la matrice \\[\\left[\\begin{array}{rrr}-1&2&2\\\\ -8&7&4\\\\ -13&5&8\\end{array}\\right].\\] Donc \\(\\ker\\varphi=\\{\\mathbf{0}\\}\\), l'unique base de \\(\\ker\\varphi\\) est \\(\\emptyset\\), et sa dimension est nulle."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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metadata:
{"chroma:document": "3. Puisque \\(\\ker\\varphi=\\{\\mathbf{0}\\}\\), l'application \\(\\varphi\\) est injective. Puisque les dimensions des espaces de depart et d'arriveee sont toutes deux egales a 3, \\(\\varphi\\) est aussi surjective, et donc bijective."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: 972be342-ec47-4fa6-a4ae-a4ae2f0390b4
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "4. En notant \\(\\mathbf{x}=(x,y)^{t}\\), on a : \\[(\\varphi\\circ\\psi)(\\mathbf{x}) = \\varphi(\\psi)(\\mathbf{x}))\\] \\[= \\varphi\\left(\\begin{array}{c}x-y\\\\ x+y\\\\ x+2y\\end{array}\\right)\\] \\[= \\left(\\begin{array}{c}-(x-y)+2(x+y)+2(x+2y)\\\\ -8(x-y)+7(x+y)+4(x+2y)\\\\ -13(x-y)+5(x+y)+8(x+2y)\\end{array}\\right)\\] \\[= \\left(\\begin{array}{c}3x+7y\\\\ 3x+23y\\\\ 34y\\end{array}\\right).\\]"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: 551bc616-08d3-4d1b-9f9b-597423103af6
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metadata:
{"chroma:document": "1. Verifions que \\(\\varphi\\) est lineaire : \\[\\varphi\\left(\\alpha\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\\\ z\\end{array}\\right)+\\beta\\left(\\begin{array}{c}x^{\\prime}\\\\ y^{\\prime}\\\\ z^{\\prime}\\end{array}\\right)\\right)\\] \\[= \\varphi\\left(\\begin{array}{c}\\alpha x+\\beta x^{\\prime}\\\\ \\alpha y+\\beta y^{\\prime}\\\\ \\alpha z+\\beta z^{\\prime}\\end{array}\\right)\\] \\[= \\left(\\begin{array}{c}(\\alpha y+\\beta y^{\\prime\\prime})+( \\alpha z+\\beta z^{\\prime})\\\\ \\alpha x+\\beta x^{\\prime}\\end{array}\\right)\\] \\[="}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: a2b41b38-5e75-4268-b3d1-249ea35d7325
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metadata:
{"chroma:document": "z^{\\prime})\\\\ \\alpha x+\\beta x^{\\prime}\\end{array}\\right)\\] \\[= \\alpha\\left(\\begin{array}{c}y+z\\\\ x\\end{array}\\right)+\\beta\\left(\\begin{array}{c}y^{\\prime}+z^{\\prime}\\\\ x^{\\prime}\\end{array}\\right)\\] \\[= \\alpha\\varphi\\left(\\begin{array}{c}x\\\\ y\\\\ z\\end{array}\\right)+\\beta\\varphi\\left(\\begin{array}{c}x^{\\prime}\\\\ y^{\\prime}\\\\ z^{\\prime}\\end{array}\\right).\\] Ensuite, \\(\\varphi(\\mathbf{u})=(5,1)^{t}\\), \\(\\varphi(\\mathbf{v})=(2,1)^{t}\\) et \\[\\varphi(\\mathbf{u}-2\\mathbf{v})=\\left(\\begin{array}{c}5\\\\"}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: 166d8d03-7f85-45c4-b0b6-5f8fe2ab546e
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "et \\[\\varphi(\\mathbf{u}-2\\mathbf{v})=\\left(\\begin{array}{c}5\\\\ 1\\end{array}\\right)-2\\left(\\begin{array}{c}2\\\\ 1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}1\\\\ -1\\end{array}\\right).\\]2. Le vecteur \\((x,y,z)^{t}\\) appartient a ker \\(\\varphi\\) si et seulement si \\(y+z=0\\) et \\(x=0\\). C'est donc l'ensemble des vecteurs de la forme \\((0,y,-y)^{t}\\) ou \\(y\\in\\mathbb{R}\\) : \\[\\ker\\varphi=\\left\\{\\left(\\begin{array}{c}0\\\\ y\\\\ -y\\end{array}\\right)\\Bigg{|}\\ y\\in\\mathbb{R}\\right\\}=\\text{vect}\\left\\{\\left("}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: 0cb76314-6292-4c1d-ba7f-c25058e90147
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "y\\in\\mathbb{R}\\right\\}=\\text{vect}\\left\\{\\left( \\begin{array}{c}0\\\\ 1\\\\ -1\\end{array}\\right)\\right\\}.\\] Le sous-espace vectoriel ker \\(\\varphi\\) est donc de dimension \\(1\\), et admet pour base le singleton \\(\\{(0,1,-1)^{t}\\}\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: 200e4810-bbf0-4e3d-99a5-79854f68f984
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "3. D'apres le theoreme du rang, \\(\\dim\\mathbb{R}^{3}=\\operatorname{rg}\\varphi+\\dim\\ker\\varphi\\), ce qui implique que \\(\\operatorname{rg}\\varphi=2\\). On en deduit que \\(\\operatorname{im}\\varphi=\\mathbb{R}^{2}\\) et que n'importe quelle base de \\(\\mathbb{R}^{2}\\), par exemple la base canonique, est une base de \\(\\operatorname{im}\\varphi\\)."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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id: ce4baf75-b527-4a2c-9d56-d6056108b5f1
encoding: FLOAT32
metadata:
{"chroma:document": "1. Si \\(\\mathcal{A}\\) est liee, il existe \\(\\alpha_{1},\\ldots,\\alpha_{m}\\) non tous nuls tels que \\(\\alpha_{m}x_{m}+\\cdots+\\alpha_{m}x_{m}=0\\). Mais alors \\[\\alpha_{1}\\varphi(x_{1})+\\cdots+\\alpha_{m}\\varphi(x_{m})=\\varphi(\\alpha_{1}x_ {1}+\\cdots+\\alpha_{m}x_{m})=0,\\] et puisqu'au moins un des \\(\\alpha_{j}\\) est non nul, non voyons que \\(\\{\\varphi(x_{1}),\\ldots,\\varphi(x_{m})\\}\\) est liee.\n2. Ce point se deduit du precedent par contre-apposition."}


created_at: 2024-04-18 04:36:20
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encoding: FLOAT32
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{"chroma:document": "3. Supposons \\(\\mathcal{A}\\) libre et \\(\\varphi\\) injective, et considerons l'equation \\(\\alpha_{1}\\varphi(x_{1})+\\cdots+\\alpha_{m}\\varphi(x_{m})=0\\). Le membre de gauche n'est autre que \\(\\varphi(\\alpha_{1}x_{1}+\\cdots+\\alpha_{m}x_{m})\\), et puisque \\(\\varphi\\) injective, on a necessairement \\(\\alpha_{1}x_{1}+\\cdots+\\alpha_{m}x_{m}=0\\). Puisque \\(\\mathcal{A}\\) est libre, on deduit de cette derniere equation que \\(\\alpha_{1}=\\ldots=\\alpha_{m}=0\\). Donc \\(\\varphi(\\mathcal{A})\\) est libre."}


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## 1 Enonces

**Exercice 1**: On rappelle que \((E,+,\cdot)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel si

1. \((E,+)\) est un groupe commutatif\(\,\);
2. \(\forall x,y\in E,\,\forall\alpha\in\mathbb{K},\,\alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x +\alpha\cdot y\,\);
3. \(\forall x\in E,\,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K},\,(\alpha+\beta)\cdot x= \alpha\cdot x+\beta\cdot x\,\);
4. \(\forall x\in E,\,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K},\,\alpha\cdot(\beta\cdot x )=(\alpha\beta)\cdot x\,\);
5. \(1\cdot x=x\).


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Soit \((E,+,\cdot)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On note \(0_{E}\) l'element neutre de \((E,+)\) (que l'on appelle aussi l'origine de \((E,+,\cdot)\)) et \(0_{\mathbb{K}}\) le nombre zero (dans \(\mathbb{K}\)). Pour tout \(x\) dans \(E\), le symetrique de \(x\) est note \(-x\).

1. Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(x+x=2\cdot x\).
2. Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(0_{\mathbb{K}}\cdot x=0_{E}\).
3. Montrer que, pour tout \(x\in E\), \((-1)\cdot x=-x\).


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**Exercice 2**: Soient \(F_{1},\ldots,F_{m}\) des sous-espaces vectoriels d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \((E,+,\cdot)\). Montrer que \(F:=F_{1}\cap\ldots\cap F_{m}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

**Exercice 3**: Soient \((E,+,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, \(\{x_{1},\ldots,x_{m}\}\) une famille de vecteurs de \(E\). Montrer que \(F:=\operatorname{vect}\{x_{1},\ldots,x_{m}\}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).


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**Exercice 4**: Soient \((E,+,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(A,B\) deux sous-ensembles de \(E\).

1. Montrer que, si \(A\subset B\), alors \(\operatorname{vect}A\subset\operatorname{vect}B\).
2. Montrer que \(A\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(\operatorname{vect}A=A\).
3. Montrer que, si \(A\subset B\subset F\) et \(A\) engendre \(F\), alors \(B\) engendre \(F\).


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**Exercice 5**: Considerons les vecteurs de \(\mathbb{R}^{4}\) suivants :

\[\mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\quad\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ -1\end{array}\right),\quad\mathbf{e}_{3}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 3\end{array}\right),\quad\mathbf{e}_{4}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ -1\end{array}\right).\]


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string_value:
La famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\) est-elle libre\(\,\)? Est-ce une base de \(\mathbb{R}^{4}\,\)?

**Exercice 6**: Considerons les vecteurs de \(\mathbb{R}^{4}\) suivants :


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string_value:
\[\mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\quad\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\quad\mathbf{e}_{3}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 3\end{array}\right),\quad\mathbf{e}_{4}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ -2\end{array}\right).\]1. La famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\) est-elle libre?
2. Quel est le rang de la famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\)?


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3. Determiner une relation entre les nombres reels \(\alpha\) et \(\beta\) pour que le vecteur \(\mathbf{u}=(1,1,\alpha,\beta)^{t}\) appartienne au sous-espace vectoriel engendre par la famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\).


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string_value:
**Exercice 7**: Soit \(E=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\), l'espace des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).


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string_value:
1. Soient \(c\) et \(s\) les fonctions definies par \[\forall x\in\mathbb{R},\quad c(x)=\cos x\quad\text{et}\quad s(x)=\sin x.\] Montrer que \(\{c,s\}\) est une famille libre de \(E\). Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel \(T\) engendre par la famille \(\{c,s\}\)?


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string_value:
2. Soient \(\alpha,\beta,\gamma\) trois reels fixes. Soient \(f,g,h\) les fonctions definies par \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=\cos(x+\alpha),\quad g(x)=\cos(x+\beta) \quad\text{et}\quad h(x)=\cos(x+\gamma).\] Montrer que \(f,g,h\) appartiennent a \(T\), et expliciter leurs coordonnees dans la base \(\{c,s\}\) de \(T\). La famille \(\{f,g,h\}\) est-elle libre? Quel est son rang?


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string_value:
3. Soient \(a_{1},a_{2},a_{3}\) trois reels distincts. Pour tout entier \(k\in\{1,2,3\}\) on note \(f_{k}\) la fonction definie sur \(\mathbb{R}\) par \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f_{k}(x)=\left|x-a_{k}\right|.\] Montrer que \(\{f_{1},f_{2},f_{3}\}\) est une famille libre de \(E\).


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string_value:
**Exercice 8**:
1. On rappelle que \(\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})\) designe l'espace des fonctions continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Montrer que \(\mathcal{A}:=\{f\in\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})|\forall x\in\mathbb{R},\;f(x)= f(-x)\}\) et \(\mathcal{B}:=\{f\in\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})|\forall x\in\mathbb{R},\;f(x)= -f(-x)\}\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})\). Sont-ils en somme directe?


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string_value:
2. Montrer que \(A:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|x+y+z=0\}\) et \(B:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|x-y+z=0\}\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^{3}\). Sont-ils en somme directe?


key: chroma:document
string_value:
**Exercice 9**:
1. Soient \(F:=\{(x,x,x)\in\mathbb{R}^{3}|x\in\mathbb{R}\}\) et \(G:=\{(0,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|y,z\in\mathbb{R}\}\). Montrer que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^{3}\). Preciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils en somme directe?
2. Soit \(H:=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}|x=2y-z,\;t=x+y+z\}\). Verifier que \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{4}\). En donner une base et la dimension.


key: chroma:document
string_value:
**Exercice 10**: Soient \((E,+,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(A,B,C\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\).

1. Montrer que \((A\cap C)+(B\cap C)\subset(A+B)\cap C\). Donner un exemple dans \(\mathbb{R}^{2}\) pour lequel l'inclusion est stricte.
2. Montrer que, si \(A+B=A+C\), \(A\cap B=A\cap C\) et \(B\subset C\), alors \(B=C\).

**Exercice 11**: On considere l'application donnee par


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string_value:
**Exercice 11**: On considere l'application donnee par

1. Montrer que \(\varphi\) est une application lineaire. Determiner l'image par \(\varphi\) des vecteurs de la base canonique \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}\) de \(\mathbb{R}^{3}\). Calculer \(\varphi(2\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3})\).
2. Determiner le noyau de \(\varphi\). En donner une base et preciser sa dimension.


key: chroma:document
string_value:
3. L'application \(\varphi\) est-elle injective? surjective? bijective?
4. Soit \(\psi\) l'application lineaire donnee par \[\psi\colon \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}\] \[\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) \longmapsto \left(\begin{array}{c}x-y\\ x+y\\ x+2y\end{array}\right).\] Determiner \(\varphi\circ\psi\).

**Exercice 12**: On considere l'application donnee par


key: chroma:document
string_value:
**Exercice 12**: On considere l'application donnee par

\[\varphi\colon \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}\] \[\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right) \longmapsto \left(\begin{array}{c}y+z\\ x\end{array}\right)\]

ainsi que les vecteurs \(\mathbf{u}:=(1,2,3)^{t}\) et \(\mathbf{v}:=(1,1,1)^{t}\).


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1. Montrer que \(\varphi\) est lineaire. Determiner \(\varphi(\mathbf{u})\), \(\varphi(\mathbf{v})\) et \(\varphi(\mathbf{u}-2\mathbf{v})\).
2. Determiner le noyau de \(\varphi\). En donner une base et preciser sa dimension.
3. Determiner l'image de \(\varphi\). En donner une base et preciser sa dimension.


key: chroma:document
string_value:
**Exercice 13**: Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels et \(\varphi\) une application lineaire de \(E\) dans \(F\). Soit \(\mathcal{A}:=\{x_{1},\ldots,x_{m}\}\) une famille de vecteurs de \(E\).


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1. Montrer que, si \(\mathcal{A}\) est liee, alors \(f(\mathcal{A})=\{\varphi(x_{1}),\ldots,\varphi(x_{m})\}\) est liee.
2. Montrer que, si \(\varphi(\mathcal{A})\) est libre, alors \(\mathcal{A}\) est libre.
3. Montrer que, si \(\mathcal{A}\) est libre et \(\varphi\) est injective, alors \(\varphi(\mathcal{A})\) est libre.


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1. Pour tout \(x\in E\), \(2\cdot x=(1+1)\cdot x=1\cdot x+1\cdot x=x+x\), ou l'on a utilise successivement les axiomes (II-2) et (II-4).


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2. On a : \[\begin{array}{rcl}0_{\mathbb{K}}\cdot x&=&(0_{\mathbb{K}}2)\cdot x\\ &=&0_{\mathbb{K}}\cdot(2\cdot x)&\text{[d'apres l'axiome (II-3)]}\\ &=&0_{\mathbb{K}}\cdot(x+x)&\text{[d'apres la question (1)]}\\ &=&0_{\mathbb{K}}\cdot x+0_{\mathbb{K}}\cdot x.\end{array}\] En simplifiant (c'est-a-dire, en ajoutant \(-(0_{\mathbb{K}}\cdot x)\) des deux cotes), on obtient l'egalite \(0_{E}=0_{\mathbb{K}}\cdot x\).


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3. D'apres la question (2), \(0_{E}=0_{\mathbb{K}}\cdot x=(1+(-1))\cdot x=(1\cdot x)+((-1)\cdot x)=x+((-1) \cdot x)\), ou la troisieme egalite resulte de l'axiome (II-2) et ou la derniere egalite resulte de l'axiome (II-4). On en deduit que \((-1)\cdot x\) est le symetrique de \(x\), c'est-a-dire, \(-x\).


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**Solution de l'exercice 2**: Nous devons montrer que pour tous \(x,y\in F\) et pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(x+\alpha y\in F\). Soient donc \(x,y\in F\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\) quelconques. Par definition de l'intersection, pour tout \(k\in\{1,\ldots,m\}\), \(x,y\in F_{k}\). Comme \(F_{k}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) nous deduisons que

\[x+\alpha y\in F_{k},\]et ce pour tout \(k\in\{1,\ldots,m\}\). Donc \(x+\alpha y\) appartient a l'intersection des \(F_{k}\), c'est-a-dire, a \(F\).


key: chroma:document
string_value:
**Solution de l'exercice 3** : Remarquons tout d'abord que \(F\) est non vide, puisque que

\[0_{E}=0\cdot x_{1}+\cdots+0\cdot x_{m}\in F.\]

Soient \(x,y\in F\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\) quelconques. Alors \(x\) et \(y\) s'ecrivent

\[x=\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{m}x_{m}\quad\mbox{et}\quad y=\beta_{1}x_{1}+ \cdots+\beta_{m}x_{m},\]

avec \(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{m}\in\mathbb{R}\). Donc,


key: chroma:document
string_value:
\[x+\alpha y = (\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{m}x_{m})+\alpha(\beta_{1}x_{1}+ \cdots+\beta_{m}x_{m})\] \[= (\alpha_{1}+\alpha\beta_{1})x_{1}+\cdots+(\alpha_{m}+\alpha\beta _{m})x_{m}.\]

Par consequent, \(x+\alpha y\) est une combinaison lineaire des vecteurs \(x_{1},\ldots,x_{m}\), c'est-a-dire, un element de \(F\).


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1. Supposons que \(A\subset B\), et montrons que tout element de \(\mbox{vect}\,A\) appartient a vect \(B\). Soit donc \(x\) quelconque dans \(\mbox{vect}\,A=\emptyset\), alors \(\mbox{vect}\,A=\{0\}\) et donc \(x\) est forcement le vecteur nul. Comme \(\mbox{vect}\,B\) est un sous-espace vectoriel, \(\mbox{vect}\,B\ni 0\) et l'on a bien \(\mbox{vect}\,A\subset\mbox{vect}\,B\). Si \(A\) est non vide, alors \[\exists p\in\mathbb{N}^{*},\ \exists x_{1},\ldots,x_{p}\in A,\ \exists\alpha_{1},\ldots,


key: chroma:document
string_value:
\exists x_{1},\ldots,x_{p}\in A,\ \exists\alpha_{1},\ldots, \alpha_{p}\in\mathbb{R}\colon\quad x=\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{p}x_{p}.\] Puisque \(A\subset B\), les \(x_{k}\) sont aussi dans \(B\), de sorte que \(x\) est une combinaison lineaire de vecteurs de \(B\), c'est-a-dire, un element de \(\mbox{vect}\,B\). On a donc encore \(\mbox{vect}\,A\subset\mbox{vect}\,B\).


key: chroma:document
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2. Supposons que \(A=\mbox{vect}\,A\). Puisque \(\mbox{vect}\,A\) est un sous-espace vectoriel, il en est de meme de \(A\). Reciproquement, supposons que \(A\) soit un sous-espace vectoriel, et montrons que \(A=\mbox{vect}\,A\). Remarquons que tout element de \(A\) est une combinaison lineaire particuliere d'elements de \(A\) (prendre \(p=1\), \(\alpha_{1}=1\) et \(x_{1}=x\)). Donc on a clairement l'inclusion \(A\subset\mbox{vect}\,A\). De plus, si \(A\) est un sous-espace vectoriel, alors \(A\) est non


key: chroma:document
string_value:
si \(A\) est un sous-espace vectoriel, alors \(A\) est non vide. Soit alors \(x\in\mbox{vect}\,A\) : \[\exists p\in\mathbb{N}^{*},\ \exists x_{1},\ldots,x_{p}\in A,\ \exists\alpha_{1},\ldots,\alpha_{p}\in\mathbb{R}\colon\quad x= \alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{p}x_{p}.\] Puisque \(A\) est stable par combinaison lineaire, \(x\in A\). On a donc aussi l'inclusion \(\mbox{vect}\,A\subset A\).


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3. D'apres le point (1), \(\mbox{vect}\,A\subset\mbox{vect}\,B\subset\mbox{vect}\,F\). Or, \(\mbox{vect}\,F=F\) puisque \(F\) est un sous-espace vectoriel. De plus, \(\mbox{vect}\,A=F\) puisque \(A\) engendre \(F\). Finalement, on a : \[F\subset\mbox{vect}\,B\subset F,\] ce qui montre que \(\mbox{vect}\,B=F\). Autrement dit, \(B\) engendre \(F\).


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string_value:
**Solution de l'exercice 5** : On resout l'equation vectorielle \(\alpha\mathbf{e}_{1}+\beta\mathbf{e}_{2}+\gamma\mathbf{e}_{3}+\delta\mathbf{e}_ {4}=\mathbf{0}\). Ceci revient resoudre le systeme lineaire

\[\left\{\begin{array}{rcl}0&=&\alpha+\gamma+2\delta,\\ 0&=&\alpha+\beta+\delta,\\ 0&=&\alpha+2\beta-2\gamma,\\ 0&=&\alpha-\beta+3\gamma-\delta.\end{array}\right.\]


key: chroma:document
string_value:
On trouve que la seule solution possible est \(\alpha=\beta=\gamma=\delta=0\). Donc la famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\) est libre, et puisque son cardinal est egal a la dimension de \(\mathbb{R}^{4}\), c'est une base de \(\mathbb{R}^{4}\).

**Solution de l'exercice 6**:


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1. On resout l'equation vectorielle \(\alpha\mathbf{e}_{1}+\beta\mathbf{e}_{2}+\gamma\mathbf{e}_{3}+\delta\mathbf{e }_{4}=\mathbf{0}.\) Ceci revient resoudre le systeme lineaire \[\left\{\begin{array}{rcl}0&=&\alpha+\gamma+\delta,\\ 0&=&\alpha+\beta+\delta,\\ 0&=&\alpha+2\beta-2\gamma+2\delta,\\ 0&=&\alpha+\beta+3\gamma-2\delta.\end{array}\right.\] On trouve que ce systeme est equivalent au systeme \[\left\{\begin{array}{rcl}0&=&\alpha+\gamma+\delta,\\ 0&=&\beta-\gamma,\\


key: chroma:document
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0&=&\beta-\gamma,\\ 0&=&\gamma-\delta.\end{array}\right.\] Ce systeme admet d'autres solutions que la solution nulle. On en deduit que \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\) n'est pas libre.


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2. D'apres ce qui precede, le rang de la famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\) est inferieur ou egal a 3. On considere alors la famille \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}.\) On verifie facilement qu'elle est libre, de sorte que le rang cherche est en fait egal a 3.


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3. Pour que \(\mathbf{u}\) appartienne au _sev_ engendre par \(\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},\mathbf{e}_{4}\}\), il faut que l'equation vectorielle \[\mathbf{u}=\alpha\mathbf{e}_{1}+\beta\mathbf{e}_{2}+\gamma\mathbf{e}_{3}+ \delta\mathbf{e}_{4}\] admette au moins une solution. On cherche donc a resoudre le systeme lineaire \[\left\{\begin{array}{rcl}1&=&\alpha+\gamma+\delta,\\ 1&=&\alpha+\beta+\delta,\\ a&=&\alpha+2\beta-2\gamma+2\delta,\\


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string_value:
1&=&\alpha+\beta+\delta,\\ a&=&\alpha+2\beta-2\gamma+2\delta,\\ b&=&\alpha+\beta+3\gamma-2\delta.\end{array}\right.\] On verifie que ce systeme est equivalent au systeme \[\left\{\begin{array}{rcl}1&=&\alpha+\gamma+\delta,\\ 0&=&\beta-\gamma,\\ a-1&=&-\gamma+\delta,\\ b-1&=&3\gamma-3\delta.\end{array}\right.\] En considerant les deux dernieres equations, on voit que le systeme n'a de solution que si \(b-1=-3(a-1)\), c'est-a-dire, si \(b+3a=4.\)


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1. Considerons l'equation \(\alpha c+\beta s=0\) dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}.\) Cette equation est equivalente a \[\forall x\in\mathbb{R},\quad\alpha\cos x+\beta\sin x=0.\] Les choix \(x=0\) et \(x=\pi/2\) donnent respectivement \(\alpha=0\) et \(\beta=0.\) La famille \(\{c,s\}\) est donc libre, et la dimension de \(T\) est egale a 2.


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2. Puisque \(\cos(x+\alpha)=\cos x\cos\alpha-\sin x\sin\alpha,\) on voit que \[f=\cos\alpha\cdot c-\sin\alpha\cdot s\in T\] et que les coordonnees de \(f\) dans la base \(\{c,s\}\) de \(T\) sont donnees par le couple \((\cos\alpha,-\sin\alpha).\) De meme, \[g=\cos\beta\cdot c-\sin\beta\cdot s\in T\quad\mbox{et}\quad h=\cos\gamma \cdot c-\sin\gamma\cdot s\in T;\]les coordonnees de \(g\) et \(h\) dans la base \(\{c,s\}\) de \(T\) sont donnees respectivement par les couples \((\cos\beta,-\sin\beta)\) et


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string_value:
respectivement par les couples \((\cos\beta,-\sin\beta)\) et \((\cos\gamma,-\sin\gamma)\). La famille \(\{f,g,h\}\) ne peut pas etre libre, puisque son cardinal est egal a 3 alors que la dimension de l'espace vectoriel \(T\) est egale a 2. Son rang vaut au plus 2 (car \(\dim T=2\)) et au moins 1 (car les fonctions \(f,g,h\) sont non nulles). Le rang est egal a 1 lorsque \(f,g,h\) sont colineaires, c'est-a dire lorsqu'il existe \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R}\) tels que \(f=ag=bh\) ou, de maniere


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\(b\) dans \(\mathbb{R}\) tels que \(f=ag=bh\) ou, de maniere equivalente, lorsque \[\left(\begin{array}{c}\cos\alpha\\ -\sin\alpha\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}\cos\beta\\ -\sin\beta\end{array}\right)=b\left(\begin{array}{c}\cos\gamma\\ -\sin\gamma\end{array}\right).\] Des equations \(\cos\alpha=a\cos\beta\) et \(\sin\alpha=a\sin\beta\) on tire, en les elevant au carre et en les sommant, que \(a^{2}=1\), c'est-a-dire, que \(a\in\{-1,1\}\). Si \(a=1\), alors \(\beta=\alpha+2k\pi\), et si


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Si \(a=1\), alors \(\beta=\alpha+2k\pi\), et si \(a=-1\), alors \(\beta=\alpha+\pi+2k\pi\). En resume, \(f\) et \(g\) sont colineaires si et seulement si \(\beta\in\{\alpha\}+\pi\mathbb{Z}\). De meme, \(f\) et \(h\) sont colineaires si et seulement si \(\gamma\in\{\alpha\}+\pi\mathbb{Z}\). La famille \(\{f,g,h\}\) est donc de rang 1 lorsque \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) different d'un multiple entier de \(\pi\) ; elle est de rang 2 dans le cas contraire.


key: chroma:document
string_value:
3. Considerons l'equation \(\alpha f_{1}+\beta f_{2}+\gamma f_{3}=0\) dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\), qui equivaut a la condition \[\forall x\in\mathbb{R},\quad\alpha f_{1}(x)+\beta f_{2}(x)+\gamma f_{3}(x)=0.\] Les choix \(x=a_{1}\), \(x=a_{2}\) et \(x=a_{3}\) donnent respectivement les equations \[\beta\left|a_{1}-a_{2}\right|+\gamma\left|a_{1}-a_{3}\right| = 0,\] \[\alpha\left|a_{2}-a_{1}\right|+\gamma\left|a_{2}-a_{3}\right| = 0,\] \[\alpha\left|a_{3}-a_{1}\right|+\beta\left|a_{3}-a_{2}\right| = 0.\]


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= 0.\] Posons \(a:=\left|a_{3}-a_{1}\right|\), \(b:=\left|a_{3}-a_{2}\right|\) et \(c:=\left|a_{1}-a_{2}\right|\). Le systeme d'equations precedent s'ecrit \[\left\{\begin{array}{ccl}0&=&a\alpha+b\beta,\\ 0&=&c\alpha+b\gamma,\\ 0&=&c\beta+a\gamma.\end{array}\right.\] En resolvant ce systeme lineaire, et en tenant compte du fait que \(a\), \(b\) et \(c\) sont non nuls, on voit que la seule solution possible est \(\alpha=\beta=\gamma=0\). On peut aussi ecrire le systeme sous forme matricielle, et remarquer,


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string_value:
aussi ecrire le systeme sous forme matricielle, et remarquer, pour arriver a la meme conclusion, que la matrice \[\left[\begin{array}{ccc}a&b&0\\ c&0&b\\ 0&c&a\end{array}\right]\] a pour determinant le reel non nul \(-2abc\).


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1. La fonction nulle \(\nu\) (definie par \(\nu(x)=0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\)) appartient a \(\mathcal{A}\) et a \(\mathcal{B}\). Donc, \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) sont non vides. De plus, pour toutes fonctions \(f,g\in\mathcal{A}\) et tout reel \(\alpha\), la fonction \(f+\alpha g\) satisfait : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad(f+\alpha g)(x)=f(x)+\alpha g(x)=f(-x)+\alpha g(-x)=( f+\alpha g)(-x).\] Par consequent, \(f+\alpha g\in\mathcal{A}\). Donc \(\mathcal{A}\) est un sous-espace vetoriel de


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string_value:
Donc \(\mathcal{A}\) est un sous-espace vetoriel de \(\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})\). De meme, pour toutes fonctions \(f,g\in\mathcal{B}\) et tout reel \(\alpha\), la fonction \(f+\alpha g\) satisfait : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad(f+\alpha g)(x)=f(x)+\alpha g(x)=-f(-x)-\alpha g(-x)=-( f+\alpha g)(-x).\]Par consequent, \(f+\alpha g\in\mathcal{A}\). Donc \(\mathcal{B}\) est un sous-espace vetoriel de \(\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})\). Soit maintenant \(f\) une fonction de \(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}\).


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\(f\) une fonction de \(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}\). Alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[f(x)=f(-x)\quad\mbox{et}\quad f(x)=-f(-x),\] ce qui montre que \(f(x)=0\). Donc \(f=\nu\). On en deduit que \(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\{\nu\}=\{0_{\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})}\}\), et que \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) sont en somme directe.


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2. Il est facile de voir que \(A\) et \(B\) contiennent le vecteur \(\mbox{nul}\ (0,0,0)\). De plus, si \((x,y,z)\) et \((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) appartiennent a \(A\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\), alors \((x,y,z)+\alpha(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})=(x+\alpha x^{\prime},y+\alpha y ^{\prime},z+\alpha z^{\prime})\) satisfait \[(x+\alpha x^{\prime})+(y+\alpha y^{\prime})+(z+\alpha z^{\prime})=(x+y+z)+ \alpha(x^{\prime}+y^{\prime}+z^{\prime})=0.\] Donc


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string_value:
\alpha(x^{\prime}+y^{\prime}+z^{\prime})=0.\] Donc \((x,y,z)+\alpha(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\in A\), et \(A\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\). De meme, si \((x,y,z)\) et \((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) appartiennent a \(B\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\), alors \((x,y,z)+\alpha(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})=(x+\alpha x^{\prime},y+\alpha y ^{\prime},z+\alpha z^{\prime})\) satisfait \[(x+\alpha x^{\prime})-(y+\alpha y^{\prime})+(z+\alpha z^{\prime})=(x-y+z)+


key: chroma:document
string_value:
y^{\prime})+(z+\alpha z^{\prime})=(x-y+z)+ \alpha(x^{\prime}-y^{\prime}+z^{\prime})=0.\] Donc \((x,y,z)+\alpha(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\in B\), et \(B\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\). Soit maintenant \((x,y,z)\) un vecteur de \(A\cap B\). Alors, \[x+y+z=0\quad\mbox{et}\quad x-y+z=0.\] Le vecteur \((1,0,-1)\) satisfait les deux equations ci-dessus. On voit donc que \(A\cap B\) n'est pas reduit a \(\{(0,0,0)\}\). Les sous-espaces \(A\) et \(B\) ne sont pas en somme directe.


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string_value:
1. Il est facile de voir que le vecteur \((0,0,0)\) appartient a \(F\) et a \(G\). Donc \(F\) et \(G\) sont non vides. Soient \((x,x,x),(y,y,y)\in F\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\). Alors \[(x,x,x)+\alpha(y,y,y)=(x+\alpha y,x+\alpha y,x+\alpha y)\in F.\] Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\). Soient \((0,y,z),(0,y^{\prime},z^{\prime})\in G\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\). Alors \[(0,y,z)+\alpha(0,y^{\prime},z^{\prime})=(0,y+\alpha y^{\prime},z+\alpha z^{ \prime})\in G.\] Donc \(G\) est un


key: chroma:document
string_value:
y^{\prime},z+\alpha z^{ \prime})\in G.\] Donc \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\). On voit que \[F=\{x(1,1,1)|x\in\mathbb{R}\}=\mbox{vect}\{(1,1,1)\},\] \[G=\{y(0,1,0)+z(0,0,1)|x,y\in\mathbb{R}\}=\mbox{vect}\{(0,1,0),(0,0,1)\}.\] De plus, on verifie facilement que les familles \(\{(1,1,1)\}\) et \(\{(0,1,0),(0,0,1)\}\) sont libres. Elles forment donc des bases respectives de \(F\) et \(G\). On en deduit que \(\mbox{dim}\,F=1\) et \(\mbox{dim}\,G=2\). Enfin, si \((x,y,z)\in F\cap G\),


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string_value:
et \(\mbox{dim}\,G=2\). Enfin, si \((x,y,z)\in F\cap G\), alors \(x=y=z\) et \(x=0\). Donc \(F\cap G=\{(0,0,0)\}\), et \(F\) et \(G\) sont en somme directe.


key: chroma:document
string_value:
2. On verifie facilement que \((0,0,0,0)\in H\), de sorte que \(F\neq\emptyset\). Soient \((x,y,z,t),(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime})\in H\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\). Alors, \((x,y,z,t)+\alpha(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime})=(x+\alpha x^{ \prime},y+\alpha y^{\prime},z+\alpha z^{\prime},t+\alpha t^{\prime})\) satisfait : \[x+\alpha x^{\prime}=2y-z+\alpha(2y^{\prime}-z^{\prime})=2(y+\alpha y^{\prime})-( z+\alpha z^{\prime}),\] \[t+\alpha


key: chroma:document
string_value:
y^{\prime})-( z+\alpha z^{\prime}),\] \[t+\alpha t^{\prime}=x+y+z+\alpha(x^{\prime}+y^{\prime}+z^{\prime})=(x+\alpha x^{\prime})+(y+\alpha y ^{\prime})+(z+\alpha z^{\prime}),\] ce qui montre que \((x,y,z,t)+\alpha(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime})\in H\). Donc \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{4}\). De plus, \[H = \{(2y-z,y,z,x+y+z)|x,y,z\in\mathbb{R}\}\] \[= \{x(0,0,0,1)+y(2,1,0,1)+z(-1,0,1,1)|x,y,z\in\mathbb{R}\}\] \[=


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string_value:
\{x(0,0,0,1)+y(2,1,0,1)+z(-1,0,1,1)|x,y,z\in\mathbb{R}\}\] \[= \mbox{vect}\{(0,0,0,1),(2,1,0,1),(-1,0,1,1)\}.\]Considerons l'equation vectorielle \(\alpha(0,0,0,1)+\beta(2,1,0,1)+\gamma(-1,0,1,1)=(0,0,0,0)\). Cette equation equivaut au systeme \[\left\{\begin{array}{rcl}0&=&2\beta+\gamma\\ 0&=&2\beta\\ 0&=&\gamma\\ 0&=&\alpha+\beta+\gamma\end{array}\right.\] dont l'unique solution est \(\alpha=\beta=\gamma=0\). La famille \(\{(0,0,0,1),(2,1,0,1),(-1,0,1,1)\}\) est donc libre, et c'est une base de \(H\).


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string_value:
1. Soit \(x\in(A\cap C)+(B\cap C)\). Alors \(x=a+b\) avec \(a\in A\cap C\) et \(b\in B\cap C\). Puisque \(a\in C\) et \(b\in C\) et \(C\) est un sev, \(a+b\in C\). Donc \(x\) appartient a \(A+B\) et a \(C\). Dans \(\mathbb{R}^{2}\), Si l'on prend \(A=\mbox{vect}\{e_{1}\}\), \(B=\mbox{vect}\{e_{2}\}\) et \(C=\mbox{vect}\{e_{1}+e_{2}\}\), ou \(\{e_{1},e_{2}\}\) est la base canonique, alors \[(A\cap C)+(B\cap C)=\{0\}\cap\{0\}=\{0\}\quad\mbox{et}\quad(A+B)\cap C=\mathbb{ R}^{2}\cap C=C.\]


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2. Puisque \(B\subset C\), il suffit de montrer que \(C\subset B\). Soit donc \(x\in C\). Puisque \(0_{E}\in A\), \(x=0_{E}+x\in A+C\). Puisque \(A+C=A+B\), on peut ecrire \(x=a+b\) avec \(a\in A\) et \(b\in B\). Maintenant, \(a=x-b\), ou \(x\in C\) et \(x\in B\subset C\), et puisque \(C\) est un sev, \(a\in C\). Donc \(a\in A\cap C=B\cap C\). Donc \(a\in B\). Finalement, \(x=a+b\) avec \(a\in B\) et \(b\in B\). Puisque \(B\) est un sev, \(x\in B\).


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string_value:
1. Verifions que \(\varphi\) est lineaire : \[\varphi\left(\alpha\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime}\end{array}\right)\right)\] \[= \varphi\left(\begin{array}{c}\alpha x+\beta x^{\prime}\\ \alpha y+\beta y^{\prime}\\ \alpha z+\beta z^{\prime}\end{array}\right)\] \[= \left(\begin{array}{c}-(\alpha x+\beta x^{\prime})+2(\alpha y+ \beta y^{\prime})+2(\alpha z+\beta z^{\prime})\\ -8(\alpha x+\beta x^{\prime})+7(\alpha y+\beta


key: chroma:document
string_value:
z^{\prime})\\ -8(\alpha x+\beta x^{\prime})+7(\alpha y+\beta y^{\prime})+4(\alpha z+\beta z^ {\prime})\\ -13(\alpha x+\beta x^{\prime})+5(\alpha y+\beta y^{\prime})+8(\alpha z+\beta z ^{\prime})\end{array}\right)\] \[= \alpha\left(\begin{array}{c}-x+2y+2z\\ -8x+7y+4z\\ -13x+5y+8z\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}-x^{\prime}+2y^{ \prime}+2z^{\prime}\\ -8x^{\prime}+7y^{\prime}+4z^{\prime}\\ -13x^{\prime}+5y^{\prime}+8z^{\prime}\end{array}\right)\] \[= \alpha\varphi\left(\begin{array}{c}x\\ y\\


key: chroma:document
string_value:
\[= \alpha\varphi\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\beta\varphi\left(\begin{array}{c}x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime}\end{array}\right).\]


key: chroma:document
string_value:
Ensuite,

\[\varphi(\mathbf{e}_{1})=\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -13\end{array}\right),\quad\varphi(\mathbf{e}_{2})=\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 5\end{array}\right),\quad\varphi(\mathbf{e}_{3})=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 8\end{array}\right).\]

Enfin, \(2\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}=(2,1,-1)^{t}\), de sorte que


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string_value:
\[\varphi(2\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}) = 2\varphi(\mathbf{e}_{1})+\varphi(\mathbf{e}_{2})-\varphi(\mathbf{e }_{3})\] \[= 2\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -13\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 8\end{array}\right)\;=\;\left(\begin{array}{c}-2\\ -13\\ -29\end{array}\right).\]2. On cherche les solutions de l'equation vectorielle \(\varphi(\mathbf{x})=\mathbf{0}\). En notant \(\mathbf{x}=(x,y,z)^{t}\), on obtient le systeme


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string_value:
En notant \(\mathbf{x}=(x,y,z)^{t}\), on obtient le systeme \[\left\{\begin{array}{rcl}0&=&-x+2y+2z,\\ 0&=&-8x+7y+4z,\\ 0&=&-13x+5y+8z.\end{array}\right.\] La seule solution de ce systeme est le vecteur nul, ce que l'on peut voir aussi en calculant le determinant de la matrice \[\left[\begin{array}{rrr}-1&2&2\\ -8&7&4\\ -13&5&8\end{array}\right].\] Donc \(\ker\varphi=\{\mathbf{0}\}\), l'unique base de \(\ker\varphi\) est \(\emptyset\), et sa dimension est nulle.


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string_value:
3. Puisque \(\ker\varphi=\{\mathbf{0}\}\), l'application \(\varphi\) est injective. Puisque les dimensions des espaces de depart et d'arriveee sont toutes deux egales a 3, \(\varphi\) est aussi surjective, et donc bijective.


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string_value:
4. En notant \(\mathbf{x}=(x,y)^{t}\), on a : \[(\varphi\circ\psi)(\mathbf{x}) = \varphi(\psi)(\mathbf{x}))\] \[= \varphi\left(\begin{array}{c}x-y\\ x+y\\ x+2y\end{array}\right)\] \[= \left(\begin{array}{c}-(x-y)+2(x+y)+2(x+2y)\\ -8(x-y)+7(x+y)+4(x+2y)\\ -13(x-y)+5(x+y)+8(x+2y)\end{array}\right)\] \[= \left(\begin{array}{c}3x+7y\\ 3x+23y\\ 34y\end{array}\right).\]


key: chroma:document
string_value:
1. Verifions que \(\varphi\) est lineaire : \[\varphi\left(\alpha\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime}\end{array}\right)\right)\] \[= \varphi\left(\begin{array}{c}\alpha x+\beta x^{\prime}\\ \alpha y+\beta y^{\prime}\\ \alpha z+\beta z^{\prime}\end{array}\right)\] \[= \left(\begin{array}{c}(\alpha y+\beta y^{\prime\prime})+( \alpha z+\beta z^{\prime})\\ \alpha x+\beta x^{\prime}\end{array}\right)\] \[=


key: chroma:document
string_value:
z^{\prime})\\ \alpha x+\beta x^{\prime}\end{array}\right)\] \[= \alpha\left(\begin{array}{c}y+z\\ x\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}y^{\prime}+z^{\prime}\\ x^{\prime}\end{array}\right)\] \[= \alpha\varphi\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\beta\varphi\left(\begin{array}{c}x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime}\end{array}\right).\] Ensuite, \(\varphi(\mathbf{u})=(5,1)^{t}\), \(\varphi(\mathbf{v})=(2,1)^{t}\) et \[\varphi(\mathbf{u}-2\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}5\\


key: chroma:document
string_value:
et \[\varphi(\mathbf{u}-2\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).\]2. Le vecteur \((x,y,z)^{t}\) appartient a ker \(\varphi\) si et seulement si \(y+z=0\) et \(x=0\). C'est donc l'ensemble des vecteurs de la forme \((0,y,-y)^{t}\) ou \(y\in\mathbb{R}\) : \[\ker\varphi=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ y\\ -y\end{array}\right)\Bigg{|}\ y\in\mathbb{R}\right\}=\text{vect}\left\{\left(


key: chroma:document
string_value:
y\in\mathbb{R}\right\}=\text{vect}\left\{\left( \begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)\right\}.\] Le sous-espace vectoriel ker \(\varphi\) est donc de dimension \(1\), et admet pour base le singleton \(\{(0,1,-1)^{t}\}\).


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string_value:
3. D'apres le theoreme du rang, \(\dim\mathbb{R}^{3}=\operatorname{rg}\varphi+\dim\ker\varphi\), ce qui implique que \(\operatorname{rg}\varphi=2\). On en deduit que \(\operatorname{im}\varphi=\mathbb{R}^{2}\) et que n'importe quelle base de \(\mathbb{R}^{2}\), par exemple la base canonique, est une base de \(\operatorname{im}\varphi\).


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string_value:
1. Si \(\mathcal{A}\) est liee, il existe \(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}\) non tous nuls tels que \(\alpha_{m}x_{m}+\cdots+\alpha_{m}x_{m}=0\). Mais alors \[\alpha_{1}\varphi(x_{1})+\cdots+\alpha_{m}\varphi(x_{m})=\varphi(\alpha_{1}x_ {1}+\cdots+\alpha_{m}x_{m})=0,\] et puisqu'au moins un des \(\alpha_{j}\) est non nul, non voyons que \(\{\varphi(x_{1}),\ldots,\varphi(x_{m})\}\) est liee.
2. Ce point se deduit du precedent par contre-apposition.


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string_value:
3. Supposons \(\mathcal{A}\) libre et \(\varphi\) injective, et considerons l'equation \(\alpha_{1}\varphi(x_{1})+\cdots+\alpha_{m}\varphi(x_{m})=0\). Le membre de gauche n'est autre que \(\varphi(\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{m}x_{m})\), et puisque \(\varphi\) injective, on a necessairement \(\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{m}x_{m}=0\). Puisque \(\mathcal{A}\) est libre, on deduit de cette derniere equation que \(\alpha_{1}=\ldots=\alpha_{m}=0\). Donc \(\varphi(\mathcal{A})\) est libre.


